Die Maxwell-Gleichungen in differentieller Form

Aus der kompakten kovarianten Schreibweise der MAXWELL-Gleichungen kann die übliche differentielle Form leicht abgeleitet werden. Beispielsweise ergibt sich, wenn man $\lambda=1,\mu=2,\nu=3$ in Gleichung (6) einsetzt

$$\ensuremath{\mathrm{div}\, \vec}{B} = 0.$$ (9)

Die anderen nichtverschwindenden Elemente von (6) liefern analog

$$\ensuremath{\mathrm{rot}\, \vec}{E} + \ensuremath{\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}= 0.$$ (10)

Die Zerlegung von Gleichung (8) in ihre Komponenten ergibt die inhomogenen MAXWELL-Gleichungen in der Form

$$\ensuremath{\mathrm{rot}\, \vec}{B} = \ensuremath{\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}}+ \vec{j}$$ (11)

und

$$\ensuremath{\mathrm{div}\, \vec}{E} = \varrho.$$ (12)

Damit ist auch die Interpretation der Maxwellgleichungen klar:

• Gleichung (9) besagt, daß keine magnetischen Monopole existieren.
• Aus Gleichung (12) geht hervor, daß die Quellen des elektrischen Feldes die Ladungen sind GAUSSsches Gesetz.
• Nach Gleichung (10), dem Induktionsgesetz, ist ein sich zeitlich änderndes Magnetfeld von einem elektrischen Feld umgeben.
• Das AMPEREsche Gesetz (11) besagt, daß ein zeitlich veränderliches elektrisches Feld oder ein Strom von einem Magnetfeld umgeben sind.