Die Maxwell-Gleichungen in kovarianter Form

Die homogenen MAXWELL-Gleichungen ergeben sich direkt aus der Definition (4) des Feldstärketensors durch

$$\ensuremath{\frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x^{\lambda}}... ...ensuremath{\frac{\partial F_{\lambda\mu}}{\partial x^{\nu}}}=0$$ (6)

für $\lambda\neq\mu\neq\nu$. In besonders kompakter Form kann man die homogenen MAXWELL-Gleichungen mit dem dualen Feldstärketensor $\tilde F^{\mu\nu}=1/2\,\epsilon^{\mu\nu\varrho\sigma} F_{\varrho\sigma}$ ( $\epsilon^{\mu\nu\varrho\sigma}$ ist dabei das LEVI-CIVITA-Symbol). Sie lauten dann

$$\partial_{\nu}\tilde F^{\mu\nu}=0.$$ (7)

Die inhomogenen MAXWELL-Gleichungen ergeben sich leicht durch Anwendung der EULER-LAGRANGE-Gleichung bezüglich $A_{\mu}$ auf die LAGRANGEdichte der QED:

$$\ensuremath{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_{\mu}}}-\p... ...{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \partial_{\nu}A_{\mu}}}=0$$

Daraus folgen direkt die inhomogenen MAXWELL-Gleichungen zu:

$$\partial_{\nu}F^{\mu\nu}=-j^{\mu}$$ (8)