Ph-LK Abi-99 - 24.1.99

Das Bohrsche Atommodell

Mit Lösungen

1. Beschreiben Sie das Bohrsche Atommodell.

2. Verifizieren Sie das 1. Bohrsche Postulat:

n*h = 2*r*p*me*u mit n Î N

und das 2. Bohrsche Postulat:

DW = W2 - W1 = h * u

3. Im Bohr-Modell des Wasserstoffatoms gilt für die Radien der erlaubten Elektronenbahnen die Gleichung

rn = eo * h² * n² / ( p * eo² * me )

Wie groß sind danach die Atomdurchmesser im Grundzustand und in den ersten beiden Anregungszuständen ?

4. Im Bohr - Modell des H-Atoms ergibt sich für die Bahngeschwindigkeit des Elektrons die Gleichung

Vn = e² / ( 2 * eo * h * n )

a) Verifizieren Sie die Gleichung.

b) Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit im Grundzustand und in den ersten Anregungszuständen ?

c) Wieviel Prozent der Lichtgeschwindigkeit beträgt die Bahngeschwindigkeit des Elektrons im Grundzustand ?

d) Wie viele Umläufe macht das Elektron im Grundzustand ?

5. Aus der Bohr-Theorie über den Bau des H-Atoms ergibt sich für die Energie eines Elektrons im Abstand rn vom Atomkern der Zusammenhang:

Wrn = -e² / ( 8 * p * eo * rn)

rn = eo² * h² * n² / (p * e² * me)

a) Wie groß ist hiernach die Energie im Grundzustand und in den ersten beiden Anregungszuständen

b) Welcher Energiebetrag muß dem Atom zugeführt werden, damit das Elektron vom Radius r4 auf den Radius r5 übergeht ?

6. Das Spektrum des H-Atoms wird mit dem Rowland-Gitter (5700 Stv/cm) hergestellt. In der 2. Ordnung beobachtet man eine Linie der Balmerserie unter dem Beugungswinkel a = 33,6°. Welche Hauptquantenzahl hat der angelegte Zustand, von dem der Übergang des Elektrons in den Grundzustand ausgeht, wenn ein Lichtquant emittiert wird ?

7. Eine Metallkathode sendet bei Elektronenbeschuß Röntgenstrahlung mit der Ka-Linie der Wellenlänge l = 1.54 *10^-10m aus. Aus welchem Material besteht die Kathode ? (u = Ry (Z-1)² (1/1² - 1/2² ))

Lösungen

1. Die Bohrsche Vorstellung der gequantelten Energie der Atome beschreiben die experimentellen Beobachtungen richtig und sind heute ein fester Bestandteil der Quantentheorie. Sie erklären aber noch nicht, wie die diskreten Energieniveaus in den Atomen zustande kommen. Um auf diese Frage eine Antwort zu geben entwickelte Bohr ein Atommodell auf der Grundlage des Rutherfordschen Modells.

Rutherford hatte aufgrund seiner Experimente angenommen, daß das Atom enen kleinen, positiv geladenen Kern von 10^-14m Durchmesser besitzt. Diesen Kern umgibt eine Hülle aus soviel negativ Ladungen, wie positive Ladungen im Kern sind; das Atom ist also nach außen hin neutral. Diese Hülle legt auch den Bereich eines Atoms (Radius etwa 10^-10 m) fest. Die Hülle wird von Elektronen gebildet, die nach Bohr so auf Kreisbahnen umlaufen, daß die Coulombsche Anziehungskraft zwischen positivem Kern und negativem Elektron gerade die für die Kreisbahn notwendige Zentripetalkraft liefert. Allerdings wären dann wie bei Planeten und Satelliten beliebige Kreise oder Ellipsen mit beliebigen Energiewerten möglich. Weil Bohr aber zur Erklärung des Wasserstoffspektrums diskrete Energiestufen, also auch diskrete Bahnen brauchte, forderte er, das Elektron könne nur auf auf den durch die ganz bestimmten Energiewerte

Wn = - W1/n² (n=1,2,3,...)

gekennzeichneten Bahnen umlaufen, und zwarg ohne dabei zu strahlen.

2. Diese Bohrschen Postulate (diskrete Bahnen von Elektronen, strahlungsfrei beschleunigte Bewegung von Ladungen) stehen allerdings im Widerspruch zu allen sonstigen physikalischen Erfahrungen; insbesondere gilt dies für den benutzten Bahnbegriff. Erst die moderne Quantenphysik konnte die Widersprüche beseitigen, indem sie in ihren Grundzügen im folgenden zunächst am sogenannten "eindimensionalen Potentialtopf" darstellen.

3. Der kleinst mögliche Atomdurchmesser ist ungefähr 0,53 * 10^-10 m

4.b) und c) Die Bahngeschwindigkeit beträgt 2,2 * 10^6 m/s = 1/137 c

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