Hier könnt ihr die Mathe Aufgaben dieser Woche noch einmal nachlesen.

1. Die Osteraufgabe

1.1. Extrempunkte

1.1.1. Mit notwendiger und hinreichender Bedingung

1.1.2. Mit dem VZW-Kriterium

Zu Ostern habe ich euch eine schöne Aufgabe herrausgesucht. Sie ähnelt ein wenig der Aufgabe von Zettel AB5, besitzt aber eine andere Funktion. Viel Spaß beim lösen. Für die beste Ausarbeitung gibt´s mal wieder einen Phywe-Anstecker !!!

Gegeben sind

• die Funktionen ft: R --> R , t > 0
• mit ft(x) = (t² + X/t) exp(X/t))

a) Bestimme allgemein die Schnittpunkte des Graphen von ft mit den Koordinatenachsen, dessen Extrempunkte, Wendepunkte sowie Asymptoten. Zeichne als allgemein Repräsentanten den Graph von ft für t=1 im Bereich -1,5 £ X £ 4 ( LE-X-Achse = 2,5 cm, LE-Y-Achse = 5 cm )

Lösung:

1) Nullstellen:

ft(x) = 0 Û x = t²

also: At(-t²;0)

ft(0) = t

also: Bt(0;t)

2) Ableitungen:

...

3) Extrempunkte:

 

...

 

(Zeichnung ...)

 

...

4) Wendepunkte:

...

 

(Zeichnung ...)

 

...

5) Randverhalten von ft:

...

6) Asymptoten:

...

b) Stelle die Gleichung der Wendetangenten wt von ft auf und bestimme deren Schnittpunkt Ct mit der X-Achse

Lösung:

Gleichung der Wendetangenten:

...

 

c) Begründe geometrisch anschaulich aufgrund der Lage des Hochpunktes und des asymptotischen Verhaltens des Graphen von ft, dass dieser im 1. Quadranten (mindestens) einen Wendepunkt besitzt.

Lösung:

...

 

d) Der Graph von ft, die X-Achse und die Gerade g: X = u, -t² £ u, begrenzen ein Flächenstück. Berechne dessen Flächeninhalt Ft(u).

Lösung:

Berechnung des Integrals Ft(u) durch partielle Integration:

...

e) Berechne den Flächeninhalt Ft der sich ins Unendliche erstreckenden Gesamtfläche, welche den Graph ft und die X-Achse umschließen. Die Wendetangente wt zerlegt die letztgenannte Fläche in 2 Teilflächen. Berechne das Flächenverhältnis der linken zur rechten Teilfläche. Interpretiere das Besondere des Ergebnisses.

Lösung:

...

P.S.: Die Leologische Konstante Leo := 31907037